死区对逆变器桥臂节点电压的影响：公式 3 推导与验证

从电流极性模型推导死区平均电压误差的奇次谐波展开，并用 MATLAB 平均模型和开关模型验证。

本文关注的是死区对逆变器桥臂输出节点电压的影响，而不是仅对 PWM 门极信号边沿的影响。关键结论是：死区期间上下功率管都关断，桥臂中点由负载电流方向通过续流路径钳位到上母线或下母线，因此平均电压误差随电流极性翻转。

本文讨论的公式 (3) 来自 Ji 等人在 Electronics 发表的综述论文 Control Strategies of Mitigating Dead-time Effect on Power Converters: An Overview 中第 2.1 节 “Effect of Dead Time on Output Voltage” [1]。该式将 A 相理想输出电压与死区造成的平均误差电压相加，并把误差项展开为基波及 $3, 5, 7, \dots$ 次奇次谐波。

对应论文中公式 (3) 的核心形式是：

Δ v (t) \propto sgn (i (t))

而不是：

Δ v (t) \propto m (t)

1. 归一化模型

考虑一个两电平单桥臂。令桥臂节点电压用下母线到上母线归一化：

q (t) \in {0, 1}

其中 0 表示桥臂节点接近下母线，1 表示桥臂节点接近上母线。若需要恢复物理电压，可乘以直流母线电压 $U_{d c}$ ：

v_{n o d e} (t) = U_{d c} q (t)

理想 PWM 的载波周期平均值等于占空比：

\overset{q}{ˉ}_{i d e a l, k} = d_{k}

本文使用单相归一化调制波：

d (t) = 0.5 + \frac{M}{2} sin (ω t)

其中：

0 \leq M \leq 1

因此：

d (t) \in [0, 1]

载波周期为：

T_{c} = \frac{1}{f _{c}}

死区时间为：

T_{d}

定义死区比例：

ρ = \frac{T _{d}}{T _{c}} = f_{c} T_{d}

2. 单个载波周期内的平均误差

对称采样、up-down 计数的 center-aligned PWM 可等效为：在第 $k$ 个载波周期内，占空比 $d_{k}$ 保持不变，并形成一个关于周期中心对称的高电平脉冲。

理想情况下，单个周期内有两个开关边沿：

上升沿：桥臂节点理想状态从 0 变为 1
下降沿：桥臂节点理想状态从 1 变为 0

加入死区后，每个换流边沿后都有一段长度为 $T_{d}$ 的区间。在该区间内，上下管均关断，桥臂节点电压不是由门极命令直接决定，而是由电流方向决定。

设死区期间的钳位状态为：

c_{k} \in {0, 1}

则一个载波周期内，由两个死区区间造成的平均误差为：

Δ \overset{q}{ˉ}_{k} = \frac{1}{T _{c}} [T_{d} (c_{k} - 1) + T_{d} (c_{k} - 0)]

整理得：

Δ \overset{q}{ˉ}_{k} = \frac{T _{d}}{T _{c}} (2 c_{k} - 1) = ρ (2 c_{k} - 1)

由于 $c_{k}$ 由电流极性决定，所以定义：

σ_{i} (t) = sgn (i (t))

并用 $s = \pm 1$ 表示符号约定，则：

2 c_{k} - 1 = s σ_{i} (t_{k})

于是得到死区平均误差模型：

Δ \overset{q}{ˉ} (t) = s ρ sgn (i (t))

这里的 $s$ 只表示误差方向的定义。例如可选择 $Δ q = q_{a c t u a l} - q_{i d e a l}$ ，也可选择补偿意义下的相反符号。论文中的符号约定和不同教材中的定义可能相反，因此验证代码中保留 polarity 参数。

该推导默认：

每个 PWM 周期内电流极性不变；
死区时间远小于高电平和低电平宽度；
暂不考虑零电流钳位、器件压降、开关延迟、寄生电容和最小脉宽限制。

3. 引入功率因数角

死区误差由电流方向决定，因此必须知道电流相对调制波或输出电压基波的相位。

定义：

i (t) = \hat{I} sin (ω t - θ)

其中功率因数为：

PF = cos θ

所以：

θ = cos^{- 1} (PF)

若负载为感性负载，电流滞后电压，则 $θ > 0$ 。若电流超前，则可令 $θ < 0$ 。

死区平均误差因此写成：

Δ \overset{q}{ˉ} (t) = s ρ sgn [sin (ω t - θ)]

4. 傅里叶展开

方波函数的傅里叶展开为：

sgn [sin x] = \frac{4}{π} [sin x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{5} sin 5 x + \dots]

令：

x = ω t - θ

则：

Δ \overset{q}{ˉ} (t) = s \frac{4 ρ}{π} [sin (ω t - θ) + \frac{1}{3} sin (3 ω t - 3 θ) + \frac{1}{5} sin (5 ω t - 5 θ) + \dots]

这就是论文公式 (3) 中死区误差项的来源。若恢复为节点电压物理单位：

Δ v_{n o d e} (t) = U_{d c} Δ \overset{q}{ˉ} (t)

因此第 $n$ 次奇次谐波的归一化幅值为：

∣Δ Q_{n} ∣ = \frac{4 ρ}{πn}, n = 1, 3, 5, \dots

物理电压幅值为：

∣Δ V_{n} ∣ = U_{d c} \frac{4 ρ}{πn}, n = 1, 3, 5, \dots

功率因数不会改变这些奇次谐波的理论幅值，但会改变它们相对调制波的相位：

ϕ_{n} = - n θ

如果 polarity = -1，则所有谐波额外增加 $18 0^{\circ}$ 相位。

5. 与论文公式 (3) 的关系

论文先给出单相电压误差的平均值：

Δ u_{A} = {+ f_{c} T_{d} U_{d c}, - f_{c} T_{d} U_{d c}, i_{A} > 0 i_{A} < 0

由于：

f_{c} T_{d} = ρ

这等价于：

Δ u_{A} = U_{d c} ρ sgn (i_{A})

再把 $sgn (i_{A})$ 展开为傅里叶级数，就得到基波、三次、五次、七次等奇次谐波误差。论文公式 (3) 将该误差叠加到理想输出电压基波上：

u_{A} (t) = u_{i d e a l} (t) + Δ u_{A} (t)

若采用本文的归一化节点电压模型，则对应为：

\overset{q}{ˉ}_{a c t u a l} (t) = d (t) + Δ \overset{q}{ˉ} (t)

不同电压定义会带来比例因子差异。例如如果使用以母线中点为参考的极点电压：

v_{p o l e} = (q - \frac{1}{2}) U_{d c}

则误差仍为：

Δ v_{p o l e} = U_{d c} Δ \overset{q}{ˉ}

如果分析的是全桥线电压，需要分别建立两个桥臂的误差并相减，幅值可能变为两倍，也可能因调制和电流定义而部分抵消。

6. 为什么“下降沿滞后”不是最终节点电压模型

如果只从数字 PWM 门极命令看，并假设上升沿不变、下降沿滞后，那么高电平时间会近似增加 $T_{d}$ ，平均占空比会变成：

d_{g a t e, d t} = d + ρ

这个模型描述的是门极时序变化，而不是死区期间功率级桥臂节点的实际电压。

实际节点电压在死区期间由电流续流路径决定，因此误差是：

Δ \overset{q}{ˉ} = s ρ sgn (i)

这会形成随基波电流极性翻转的方波误差，并自然产生 $1, 3, 5, 7, \dots$ 次谐波。这也是论文公式 (3) 中谐波项出现的原因。

7. 验证脚本与测试场景

配套 MATLAB 脚本为：

1
verify_deadtime_formula3.m

完整脚本下载：

verify_deadtime_formula3.m

脚本包含两层验证。

第一层是平均模型验证：

Δ \overset{q}{ˉ} (t) = s ρ sgn [sin (ω t - θ)]

对该信号做谐波投影，验证奇次谐波幅值：

\frac{4 ρ}{π}, \frac{4 ρ}{3 π}, \frac{4 ρ}{5 π}, \frac{4 ρ}{7 π}, \dots

第二层是开关模型验证：

生成 up-down、center-aligned、symmetrical sampling PWM；
在每个理想换流边沿后插入长度为 $T_{d}$ 的死区；
死区期间按电流极性决定桥臂节点钳位状态；
对每个载波周期积分，得到周期平均误差；
与 $Δ \overset{q}{ˉ}_{k} = s ρ sgn (i_{k})$ 对比。

脚本主要输入参数包括：

1
2
3
4
5
6
7
8
cfg.fm              % 调制波/基波频率
cfg.fc              % 载波频率
cfg.M               % 调制深度，d(t)=0.5+M/2*sin(wt)
cfg.dead_time_s     % 死区时间，单位 s
cfg.rho             % 死区比例 Td/Tc = fc*Td
cfg.power_factor    % 功率因数
cfg.current_lagging % true 表示电流滞后调制波
cfg.polarity        % +1 或 -1，选择误差符号约定

本次脚本内置了两个测试场景：

场景	$f_{m}$	$f_{c}$	$T_{c}$	$T_{d}$	$ρ = f_{c} T_{d}$	$f_{c} / f_{m}$	PF
基准测试	50 Hz	10 kHz	100 us	2 us	0.02	200	0.8
激进测试	1000 Hz	20 kHz	50 us	2 us	0.04	20	0.8

两组测试都使用：

1
2
3
4
5
6
cfg.M = 0.8;
cfg.current_lagging = true;
cfg.polarity = 1;
cfg.samples_per_fundamental = 20000;
cfg.samples_per_carrier = 400;
cfg.max_harmonic = 15;

功率因数角为：

θ = cos^{- 1} (0.8) = 36.8 7^{\circ}

7.1 基准测试

基准测试参数为 $f_{m} = 50 Hz$ 、 $f_{c} = 10 kHz$ 、 $T_{d} = 2 μ s$ 。此时：

ρ = f_{c} T_{d} = 10000 \times 2 μ s = 0.02

基波误差幅值理论值为：

\frac{4 ρ}{π} = \frac{4 \times 0.02}{π} = 0.025465

三次误差幅值理论值为：

\frac{4 ρ}{3 π} = 0.008488

MATLAB 谐波投影结果中，1 到 15 次奇次谐波的最大幅值误差为：

1
1.571e-09

相位最大误差为：

1
0.0465 deg

开关模型中，电流极性按载波周期中心保持不变，用于验证平均模型的基本推导。周期平均误差的 RMS/max 误差均为：

1
0

基准测试验证图如下：

死区公式 3 基准测试验证图

7.2 激进测试：1000 Hz 基波、20 kHz 载波、2 us 死区

激进测试参数为 $f_{m} = 1000 Hz$ 、 $f_{c} = 20 kHz$ 、 $T_{d} = 2 μ s$ 。此时：

T_{c} = \frac{1}{20000} = 50 μ s

ρ = f_{c} T_{d} = 20000 \times 2 μ s = 0.04

这组参数比基准测试更激进，原因有两个：

死区比例从 $0.02$ 增大到 $0.04$ ，死区误差幅值翻倍；
载波比从 $200$ 降到 $20$ ，电流极性在一个载波周期内变化的影响更容易显现。

基波误差幅值理论值变为：

\frac{4 ρ}{π} = \frac{4 \times 0.04}{π} = 0.05093

三次误差幅值理论值变为：

\frac{4 ρ}{3 π} = 0.016977

MATLAB 谐波投影结果中，1 到 15 次奇次谐波的最大幅值误差为：

1
3.142e-09

相位最大误差为：

1
0.0465 deg

激进测试的开关模型使用瞬时电流极性来决定死区期间的钳位状态。对于当前 PF=0.8 的相位设置，死区窗口没有跨过电流零交越点，因此周期平均误差仍然与 $ρ sgn (i)$ 对齐，RMS/max 误差为：

1
0

这不表示所有相位下都必然为零；它说明在当前参数和相位下，死区窗口内的电流极性没有发生翻转。如果把电流相位移动到零交越正好落入死区窗口，则开关周期平均值会在零交越附近出现局部偏差，这属于公式 (3) 平均模型的边界情况。

激进测试验证图如下：

死区公式 3 激进测试验证图

为了更直观看到死区造成的平均输出畸变，下图直接比较理想平均节点电压 $m (t)$ 与死区后的平均节点电压：

q_{a c t u a l, a vg} (t) = m (t) + Δ q (t)

其中：

Δ q (t) = ρ sgn (i (t))

可以看到，死区并不是把整条正弦波连续地“拧弯”，而是在电流为正的半周整体上移 $ρ$ ，在电流为负的半周整体下移 $ρ$ 。真正显眼的畸变出现在电流零交越附近，即 $sgn (i)$ 翻转导致的台阶突变。

死区后平均输出波形台阶畸变

运行脚本后会输出：

两个场景的奇次谐波幅值与理论值对比表；
每个场景的开关模型周期平均 RMS/max 误差；
图像文件 deadtime_formula3_verification.png、deadtime_formula3_verification_aggressive.png、deadtime_formula3_avg_waveform_baseline.png 和 deadtime_formula3_avg_waveform_aggressive.png；
谐波表格 deadtime_formula3_harmonics.csv 和 deadtime_formula3_harmonics_aggressive.csv；
场景汇总表 deadtime_formula3_summary.csv。

8. 参考文献

[1] Yi Ji, Yong Yang, Jiale Zhou, Hao Ding, Xiaoqiang Guo, and Sanjeevikumar Padmanaban, “Control Strategies of Mitigating Dead-time Effect on Power Converters: An Overview,” Electronics, vol. 8, no. 2, article 196, 2019. DOI: 10.3390/electronics8020196. MDPI 页面：https://www.mdpi.com/2079-9292/8/2/196.