PMSM 电流矢量控制 (CVC) 驱动系统参数与最优控制原理分析

本文基于 motulator 框架，对一台内置式永磁同步电机 (IPMSM) 的电流矢量控制 (Current-Vector Control, CVC) 驱动系统进行完整参数梳理，并系统分析最大转矩电流比 (MTPA)、最大转矩电压比 (MTPV)、参考指令生成链及 CurrentVectorController 的核心原理与代码实现。

与 pump_load_FLUXTorqueControl 中 flux-vector 控制的关键区别在于：CVC 在参考发生器与电压输出之间插入了显式的 d-q 电流 PI 内环 (CurrentController)，而参考发生器本身的 5 步约束链（MTPA → flux limit → voltage weakening → current limit → MTPV）保持不变。

1. 电机与驱动系统参数

仿真基于 config.py 中定义的参数构建。以下分别列出电机本体、两种直流母线方案（传统大电容 vs Slim DC-link）、机械系统、控制器及标幺值基值。

1.1 永磁同步电机参数

1.2 直流母线参数

本项目对比两种直流母线方案：

Slim DC-link 采用小电容 (88 µF) 方案，直流母线电压存在显著的六脉波动。FrequencyConverter 模型内部已包含 \(C_{dc}\) 和 \(L_{dc}\) 的动态状态。

1.3 机械系统参数

1.4 控制器参数

注意：与 flux-vector 控制相比，CVC 用 alpha_c（电流环带宽）替代了 alpha_tau（转矩环带宽）和 alpha_psi（磁链环带宽）。电流环通常设计为比外环快 3~5 倍，这里取 \(2\pi \times 400\) rad/s，约为外环带宽的 4 倍。

1.5 标幺值系统基值

2. MTPA 原理与 motulator 实现

2.1 数学条件

MTPA（Maximum Torque Per Ampere，最大转矩电流比）条件定义为：在恒定电流幅值下，转矩对电流角的导数为零。

MTPA 条件：\(d\tau_M/d\gamma = 0\)，其中 \(\gamma\) 为电流角。

通过辅助磁链 \(\psi_a\)（auxiliary flux），可将该条件写成正交形式：

2.2 辅助磁链 \(\psi_a\) 的三种等价形式

2.3 源码实现

ControlLoci.compute_mtpa_locus(i_s_max) 的实现步骤：

1. 在 \([0, i_{s,\max}]\) 内线性取 16 个电流幅值点
2. 对每个幅值，用 Brentq 求根 \(\operatorname{Re}(\psi_a \cdot i_s^*) = 0\)，得到 MTPA 电流角 \(\gamma\)
3. 计算 \(i_{s,dq} = |i_s| \cdot \exp(1j \cdot \gamma)\)，并通过 psi_s_dq() 得到对应磁链
4. 计算转矩 \(\tau_M = 1.5 \cdot n_p \cdot \operatorname{Im}(i_{s,dq} \cdot \psi_{s,dq}^*)\)
5. 封装为 MTPALocus（含 \(i_{s,dq}\) vs \(\tau_M\) 插值器）

# _sm_control_loci.py
class ControlLoci:
    def compute_mtpa_current_angle(self, i_s_abs: float) -> float:
        def mtpa_cond(gamma: float) -> float:
            i_s_dq = i_s_abs * np.exp(1j * gamma)
            psi_a_dq = self.par.aux_flux(i_s_dq)
            return np.real(psi_a_dq * np.conj(i_s_dq))

        gamma_range = (0.5 * np.pi, np.pi)  # IPMSM: gamma 在第二象限
        if mtpa_cond(gamma_range[0]) * mtpa_cond(gamma_range[1]) > 0:
            return 0.0  # 区间内无根
        return root_scalar(mtpa_cond, bracket=gamma_range, method="brentq").root

    def compute_mtpa_locus(self, i_s_max: float, num: int = 16) -> MTPALocus:
        current_magnitudes = np.linspace(0, i_s_max, num)
        gamma = np.zeros_like(current_magnitudes)
        for idx, i_s_abs in enumerate(current_magnitudes):
            gamma[idx] = self.compute_mtpa_current_angle(float(i_s_abs))
        i_s_dq = current_magnitudes * np.exp(1j * gamma)
        psi_s_dq = self.par.psi_s_dq(i_s_dq)
        tau_M = 1.5 * self.par.n_p * np.imag(i_s_dq * np.conj(psi_s_dq))
        return MTPALocus(
            i_s_dq=i_s_dq, psi_s_dq=psi_s_dq, tau_M=tau_M,
            i_s_dq_vs_tau_M=lambda x: np.interp(x, tau_M, i_s_dq),
        )

3. MTPV 原理与 motulator 实现

3.1 问题设定

在高速弱磁区，电机电压受限于直流母线：

对于给定转速 \(\omega_m\)，磁链幅值 \(|\psi_s|\) 被限制在最大值以下。此时最大转矩电压比 (MTPV) 的问题可表述为：

在磁链幅值 \(|\psi_s|\) 恒定的约束下，寻找使电磁转矩最大的工作点。

3.2 解析条件

更精确地说，MTPV 是电压极限下不同转速对应的最优轨迹。当转速继续升高、电压极限圆收缩时，MTPV 轨迹给出了每个磁链水平下能产生的最大转矩。其数学条件为：

其中 \(\delta\) 是磁链矢量在 dq 坐标系中的角度，\(\psi_s = |\psi_s| e^{j\delta}\)。

3.3 辅助电流 \(i_a\) 的定义与推导

在 MTPA 分析中，motulator 使用辅助磁链 \(\psi_a\) 将 MTPA 条件写成正交形式：

类似地，MTPV 引入辅助电流 \(i_a\)（motulator 源码中名为 i_a_dq），将条件写成对偶形式：

在 _parameters.py 的 aux_current() 方法中：

def aux_current(self, i_s_dq):
    L_s = self.incr_ind_mat(i_s_dq)
    inv_L_s = np.linalg.inv(L_s)
    G_dd, G_dq, G_qq = inv_L_s[0,0], inv_L_s[0,1], inv_L_s[1,1]
    psi_s_dq = self.psi_s_dq(i_s_dq)
    return (
        (G_qq * np.real(psi_s_dq) + 1j * G_dd * np.imag(psi_s_dq))
        - 1j * G_dq * np.conj(psi_s_dq)
        - i_s_dq
    )

3.4 线性不饱和电机特例

当 \(L_{dq}=0\)，\(L_{dd}=L_d\)，\(L_{qq}=L_q\) 时：

代入 \(\psi_d = L_d i_d + \psi_f\)，\(\psi_q = L_q i_q\)：

\begin{aligned}
i_a &= \frac{L_d i_d + \psi_f}{L_q} + j\frac{L_q i_q}{L_d} – i_d – j i_q \
&= \frac{\psi_f}{L_q} + i_d\left(\frac{L_d}{L_q}-1\right) + j i_q\left(\frac{L_q}{L_d}-1\right)
\end{aligned}

MTPV 条件 \(\operatorname{Re}(i_a \cdot \psi_s^*) = 0\) 展开为：

整理后正是 IPMSM 的经典 MTPV 双曲线方程：

或写成：

3.5 MTPV 轨迹预计算

# _sm_control_loci.py
class ControlLoci:
    def compute_mtpv_flux_angle(self, psi_s_abs: float) -> float:
        def mtpv_cond(delta: float) -> float:
            psi_s_dq = psi_s_abs * np.exp(1j * delta)
            i_s_dq = self.par.iterate_i_s_dq(psi_s_dq)
            i_a_dq = self.par.aux_current(i_s_dq)
            return np.real(i_a_dq * np.conj(psi_s_dq))

        delta_range = (0.5 * np.pi, np.pi)
        if mtpv_cond(delta_range[0]) * mtpv_cond(delta_range[1]) > 0:
            return np.nan  # 不存在 MTPV（如表贴式电机 L_d=L_q）
        return root_scalar(mtpv_cond, bracket=delta_range, method="brentq").root

    def compute_mtpv_locus(self, psi_s_max: float, num: int = 16) -> MTPVLocus:
        flux_magnitudes = np.linspace(0, psi_s_max, num)
        delta = np.zeros_like(flux_magnitudes)
        for idx, psi_s_abs in enumerate(flux_magnitudes):
            delta[idx] = self.compute_mtpv_flux_angle(float(psi_s_abs))
        psi_s_dq = flux_magnitudes * np.exp(1j * delta)
        i_s_dq = np.array([self.par.iterate_i_s_dq(psi) for psi in psi_s_dq])
        tau_M = 1.5 * self.par.n_p * np.imag(i_s_dq * np.conj(psi_s_dq))
        return MTPVLocus(
            psi_s_dq=psi_s_dq, i_s_dq=i_s_dq, tau_M=tau_M,
            tau_M_vs_psi_s_abs=lambda x: np.interp(x, abs(psi_s_dq), tau_M),
            i_s_dq_vs_psi_s_abs=lambda x: np.interp(x, abs(psi_s_dq), i_s_dq),
        )

4. 参考指令生成流程与代码分析

4.1 五步切换链：compute_flux_and_torque_refs()

def compute_flux_and_torque_refs(self, tau_M_ref, w_m, u_dc):
    # Step 1: MTPA 磁链
    psi_s_abs_mtpa = abs(self._get_mtpa_flux(tau_M_ref))

    # Step 2: 磁链限幅
    psi_s_abs_ref = clip(psi_s_abs_mtpa, psi_s_min, psi_s_max)

    # Step 3: 电压极限弱磁
    psi_s_max_voltage = u_s_max / abs(w_m)
    psi_s_abs_ref = min(psi_s_abs_ref, psi_s_max_voltage)

    # Step 4: 电流极限转矩截断
    tau_M_cl = self._get_current_limit_torque(psi_s_abs_ref)
    tau_M_ref = min(tau_M_cl, abs(tau_M_ref)) * sign(tau_M_ref)

    # Step 5: MTPV 极限
    psi_s_mtpv, tau_M_mtpv = self._get_mtpv_flux_and_torque(psi_s_abs_ref)
    if tau_M_mtpv > 0:
        tau_M_ref = min(k_mtpv * tau_M_mtpv, abs(tau_M_ref)) * sign(tau_M_ref)

    return psi_s_abs_ref, tau_M_ref

4.2 各步骤的物理意义与切换条件

关于 Step 2 的补充说明：clip 的上下限由 psi_s_limits = (psi_s_min, psi_s_max) 决定。本仿真中 psi_s_min = psi_f \(\approx 0.1333\) Vs（默认值，等于永磁体磁链），psi_s_max = inf`（未设上限）。由于此 IPMSM 在正转矩区的 MTPA 磁链始终不低于 \(\psi_f\)，且上限无界，Step 2 在本次仿真中未实际触发，但其作为安全兜底的限幅逻辑仍保留在代码中。

4.3 渐进式约束机制

motulator 使用 clip + min 的组合实现渐进式约束，而非硬切换：

1. 无优先级冲突：每个约束独立施加，后一步的输入是前一步的输出
2. 自动过渡：当转速从低到高变化时，Step 3 的 psi_s_max_voltage 自然减小，MTPA 磁链逐渐被”压”到电压极限以下
3. MTPV 是最后的转矩软上限：即使磁链被电压限制住，转矩还可能受 MTPV 约束进一步下降

4.4 _get_mtpv_flux_and_torque() 的 LUT 查表

def _get_mtpv_flux_and_torque(self, psi_s_abs_ref):
    i_s = self.i_s_mtpv(psi_s_abs_ref)      # LUT 插值查电流
    psi_s = complex(self.par.psi_s_dq(i_s)) # 电流→磁链
    tau_M = 1.5 * self.par.n_p * (i_s * psi_s.conjugate()).imag
    return psi_s, tau_M

注意：这里以 \(\psi_s\) 幅值 为自变量查 MTPV 电流表，再反算磁链和转矩。如果请求点 \(\psi_{s,\text{ref}}\) 超出了预计算的 MTPV 表范围，插值器会外推，但实际中 Step 3 已将磁链限制在合理范围内。

5. CurrentVectorControl 流程与代码分析

CurrentVectorController 的核心同样由 ReferenceGenerator（第 4 节）负责生成受限的磁链/转矩参考值，但不同于 flux-vector 控制直接输出电压，CVC 增加了一个 CurrentController 内环，先将磁链/转矩参考转换为电流参考，再通过 d-q 电流 PI 控制器生成电压指令。本节分析 CVC 的数学原理与代码实现，并在 5.4 节与 flux-vector 控制进行系统对比。

5.1 整体架构

CurrentVectorController.compute_output() 的调用链：

tau_M_ref → ReferenceGenerator.compute_flux_and_torque_refs()
                → psi_s_ref, tau_M_ref (已限幅)
          → ReferenceGenerator.compute_current_ref(psi_s_ref, tau_M_ref)
                → i_s_ref (电流参考矢量)
          → CurrentController.compute_output(i_s_ref, fbk.i_s)
                → u_s_ref (电压参考矢量)

# _sm_current_vector.py
class CurrentVectorController:
    def compute_output(self, tau_M_ref: float, fbk: ObserverOutputs) -> References:
        ref = References(T_s=self.T_s, tau_M=tau_M_ref)
        ref.psi_s, ref.tau_M = self.reference_gen.compute_flux_and_torque_refs(
            ref.tau_M, fbk.w_m, fbk.u_dc
        )
        ref.i_s = self.reference_gen.compute_current_ref(ref.psi_s, ref.tau_M)
        ref.u_s = self.current_ctrl.compute_output(ref.i_s, fbk.i_s)
        return ref

5.2 CurrentController.compute_output()

CurrentController 继承自 ComplexPIController，其增益基于期望的闭环带宽 \(\alpha_c\) 和电感参数自动整定：

class CurrentController(ComplexPIController):
    def __init__(self, par, alpha_c, alpha_i=None):
        self.par = par
        alpha_i = alpha_c if alpha_i is None else alpha_i
        k_t = alpha_c
        k_i = alpha_c * alpha_i
        k_p = alpha_c + alpha_i
        super().__init__(k_p, k_i, k_t)

    def compute_output(self, i_ref: complex, i: complex, u_ff: complex = 0j) -> complex:
        # 将电流映射到磁链差值进行 PI 调节
        psi_ref = complex(self.par.psi_s_dq(i_ref)) - self.par.psi_f
        psi     = complex(self.par.psi_s_dq(i))     - self.par.psi_f
        return super().compute_output(psi_ref, psi, u_ff)

关键变量解析：

磁链映射的物理意义：

将电流误差映射到磁链误差进行 PI 控制，是 motulator 处理凸极效应 (\(L_d \neq L_q\)) 和磁饱和的巧妙方法。对于线性电机：

PI 控制器在磁链域工作，等效于在电流域自动补偿了 d-q 轴不同的电感增益。

5.3 CurrentController.update()

积分状态更新采用输出电压与实际电压的误差驱动：

def update(self, T_s: float, fbk: ObserverOutputs) -> None:
    self.observer.update(ref.T_s, fbk)
    self.current_ctrl.update(ref.T_s, fbk.u_s, fbk.w_c)

ComplexPIController.update() 内部按复数形式更新积分状态：

# _base.py (ComplexPIController)
def update(self, T_s, u, w):
    self.v += T_s * self.k_i * (self.u_ref - u)  # 积分项

其中 u_ref 为磁链参考，u 为实际磁链，w 为角频率（用于前馈解耦）。

5.4 与 Flux-Vector 控制的对比

虽然两者使用相同的 ReferenceGenerator，但 CVC 的电流内环会引入以下差异：

1. 动态响应：电流环带宽 \(\alpha_c = 2\pi \times 400\) rad/s 高于 flux-vector 的转矩环带宽 \(2\pi \times 100\) rad/s，因此 CVC 对电流指令的跟踪更快，但在电压饱和时 PI 积分器可能出现 windup。

2. 电压饱和行为：Flux-vector 控制器直接根据 flux/torque 误差计算电压，其饱和处理更直接；CVC 中电压饱和发生在电流 PI 输出端，可能导致 transient 期间的电流轨迹出现轻微过冲。

3. 稳态一致性：在稳态非饱和区，两种控制器的电流轨迹理论上应完全重合，因为最终都收敛到 ReferenceGenerator 给出的同一组 \((i_d, i_q)\) 工作点。

4. 工程适用性：CVC 是目前工业界最常见的 PMSM 控制策略，其内环电流控制便于独立调试和保护（过流保护可直接作用于电流环）。

6. 仿真验证与分析

以下通过 motulator 对一台内置式永磁同步电机 (IPMSM) 进行 3600 rpm 风机负载仿真，将实际电流轨迹绘制在 \(i_d\)–\(i_q\) 平面上，并通过轨迹着色直观展示控制器在 MTPA → 弱磁 → MTPV 各模式间的实时切换过程。

6.1 仿真设置

仿真从静止启动，0.1 s 后转速给定阶跃至 3600 rpm。控制器采用五步参考生成链（第 4 节），包含 MTPA、电压极限弱磁、电流极限截断和 MTPV 极限。

6.2 时域仿真波形与 \(i_d\)–\(i_q\) 轨迹分析

首先，下面两图分别展示了直流母线电压 \(V_{\mathrm{dc}} = 180\,\mathrm{V}\)（标称）和 \(V_{\mathrm{dc}} = 150\,\mathrm{V}\)（降低）下的时域仿真波形。每组波形包含转速、电磁转矩、\(d\)/\(q\) 轴电流、定子电压幅值、磁链幅值以及直流母线电压标幺值六个子图。

图：标称直流母线电压（\(V_{\mathrm{dc}} = 180\,\mathrm{V}\)）下的时域仿真波形。\(V_{\mathrm{dc},\,\mathrm{nom}}\) 标幺值为 1.0。

图：降低直流母线电压（\(V_{\mathrm{dc}} = 150\,\mathrm{V}\)）下的时域仿真波形。\(V_{\mathrm{dc},\,\mathrm{nom}}\) 标幺值为 \(150/180 \approx 0.833\)。由于可用电压下降，稳态磁链被进一步压低，弱磁深度增加。

下图分别展示了两种直流母线电压下的 \(i_d\)–\(i_q\) 轨迹，其中轨迹按控制器 active mode 分段着色：

图：标称直流母线电压（\(V_{\mathrm{dc}} = 180\,\mathrm{V}\)）下的 \(i_d\)–\(i_q\) 轨迹。

图：降低直流母线电压（\(V_{\mathrm{dc}} = 150\,\mathrm{V}\)）下的 \(i_d\)–\(i_q\) 轨迹。电压椭圆整体缩小，弱磁起始点更早，稳态工作点更靠近电流极限圆与 MTPV 极限的交集。

注：本次仿真中 Mode 2（Flux limit，金色）未触发。原因是控制器配置中 psi_s_min = psi_f \approx 0.1333$ Vs（永磁体磁链），而此 IPMSM 在 MTPA 下的磁链幅值始终不低于该下限；同时 psi_s_max = \infty$，上限亦无约束。因此五步链实际表现为”四步”可见，但 Step 2 的限幅逻辑仍保留在代码中作为安全兜底。

图中叠加了磁链等高线、电流极限圆（黑色实线）、电压极限椭圆（灰色虚线）和 MTPA 理论曲线（青色虚线）。注意：由于仿真中转速实时变化，固定转速下的 MTPV 理论曲线不再叠加。轨迹上的绿色圆点为起点，红色圆点为稳态终点，箭头表示运动方向。

低转速区：MTPA 主导（青色段）

轨迹从原点 \((0,0)\) 出发后，迅速向右上方的 MTPA 曲线（青色虚线）靠近。在此阶段，转速较低，电压极限椭圆很大（尤其是 1000 rpm 的灰色椭圆），磁链尚未受到电压约束。控制器执行 Step 1（MTPA 查表），轨迹呈现青色，电流工作点由转矩需求决定，位于 MTPA 曲线上或其附近。

中转速区：电压极限弱磁（橙色/红色段）

随着转速升高，电压极限椭圆逐渐收缩。当转速超过约 2000–3000 rpm 时，MTPA 对应的磁链已超出当前转速下的电压极限（椭圆边界）。此时 Step 3 的 min(psi_s, psi_s_max_voltage) 生效，磁链被强制压低，轨迹转为橙色。在加速过程中，若所需转矩超出电流极限圆与电压圆交集，Step 4 进一步截断转矩，轨迹出现短暂的红色段。电流工作点从 MTPA 曲线滑向电压极限椭圆与电流极限圆的交集区域。

高转速区：MTPV 极限（品红色段）

在 3600 rpm 及更高转速下，电压极限椭圆进一步收缩，即使磁链已被电压限制，转矩仍可能超出 MTPV 极限允许的最大值。Step 5 将转矩参考截断到 MTPV 极限以下，轨迹变为品红色。最终稳态工作点落在 MTPV 极限区域（略偏内侧，由系数 \(k_{\text{mtpv}}=0.85\) 决定裕量）。图中品红色终点验证了五步链的最终约束效果。

暂态 \(i_d \gt 0\) 区段的机理

从 \(i_d\)–\(i_q\) 轨迹可以观察到，仿真中存在一段明显的 \(i_d \gt 0\)（第一象限）暂态轨迹。该现象的产生机理如下：

1. 初始加速：转速阶跃后，控制器首先按 MTPA 规划，轨迹从原点迅速向上半平面移动，此时 \(i_d \lt 0\)、\(i_q \gt 0\)。
2. MTPV 激活：随着转速升高，MTPV 模式激活，\(i_d\) 被推向更负的方向（左半平面移动）。
3. 退出 MTPV、进入电流极限：在暂态过程中，电流 PI 内环试图跟踪参考电流，但当电压达到饱和极限时，CurrentController 的积分器发生 windup，导致电流矢量出现超调和振荡。中途退出 MTPV 约束、进入电流极限模式后，\(i_d\) 再次呈现增加趋势。
4. 第二次 MTPA 过渡：上述 \(i_d\) 增加趋势触发了第二次 MTPA 阶段，控制器将 \(i_d\) 从第一象限重新拉回第二象限，但过程中伴随明显的振荡环（轨迹图中可见的大回环）。

该 \(i_d \gt 0\) 区段并非稳态工作点，而是大信号暂态下电流 PI 内环在电压饱和边界处 windup 与退饱和过程的直接后果。稳态后电流始终位于 \(i_d \lt 0\) 的弱磁区，最终稳定在品红色 MTPV 段。

关键原因：CurrentVectorController 通过显式的 CurrentController 内环直接控制 \(i_d\)、\(i_q\)。在电压未饱和区，电流环跟踪性能良好；但在电压饱和边界处，PI 积分器的 windup 会导致电流暂态偏离参考轨迹，形成图中可见的大回环。与 flux-vector 控制相比，CVC 的暂态振荡幅度通常更小（因为电流环带宽 \(2\pi \times 400\) rad/s 更高），但 windup 效应使轨迹在饱和边界附近出现更密集的”贴近”行为。

6.3 不同直流母线电压对比

直流母线电压降低 30 V（16.7%）直接导致电压极限椭圆等比例缩小。在 150 V 工况下，3600 rpm 对应的椭圆已大幅收缩，控制器必须更早、更深地注入负向 \(i_d\) 电流进行弱磁，以维持电压平衡。这也导致稳态时 \(i_d\) 更负、\(i_q\) 略低，转矩能力相应下降。

6.4 风机负载特性的影响

风机负载为平方律负载 (\(\tau_L \propto \omega_m^2\))，其特点在于：

1. 启动转矩低：静止时负载转矩接近零，电机只需克服惯性，因此启动电流较小，轨迹从原点附近平稳出发。
2. 加速过程非单调：随着转速上升，负载转矩按平方增长，而控制器不断调整磁链和转矩参考。图中轨迹在上升过程中出现小幅振荡和回环（尤其在品红色与橙色过渡区），这是风机负载转矩与转速强耦合、以及电流环动态响应共同作用的结果。
3. 稳态功率匹配：最终稳态时，电磁转矩与风机负载转矩平衡，工作点稳定在电压极限、电流极限和 MTPV 约束的交集附近。由于风机负载在额定转速处转矩最大，稳态点通常位于较高转速对应的电压椭圆边界上。

6.5 小结

仿真轨迹清晰展示了 motulator 五步切换链的实际效果：

• MTPA 优先（青色）：低转速区转矩最大化
• 电压弱磁自然过渡（橙色）：中转速区椭圆收缩自动压低磁链，无硬切换
• 电流极限截断（红色）：过渡区转矩被电流圆限制
• MTPV 最终兜底（品红色）：高转速区转矩被限制在电压最优轨迹上
• 渐进式约束：clip + min 组合实现了平滑、无抖动的模式过渡，颜色变化直观反映了这一过程

不同直流母线电压的对比进一步说明，电压极限是决定弱磁深度和高速转矩能力的关键边界条件。

7. 附录

7.1 Brentq 求根算法（MTPA & MTPV 统一视角）

motulator 在 MTPA 和 MTPV 的轨迹预计算中均采用 scipy.optimize.root_scalar(..., method="brentq")。Brentq 是二分法 + 割线法 + 反二次插值的混合算法，兼具二分法的稳健性和割线法的超线性收敛。

MTPA 求根

搜索变量为电流角 \(\gamma\)，搜索区间为 \([\pi/2, \pi]\)（IPMSM 的 MTPA 电流角必然在第二象限）：

def mtpa_cond(gamma):
    i_s_dq = i_s_abs * np.exp(1j * gamma)
    psi_a_dq = par.aux_flux(i_s_dq)
    return np.real(psi_a_dq * np.conj(i_s_dq))  # 求此函数的根

gamma_opt = root_scalar(mtpa_cond, bracket=[np.pi/2, np.pi], method="brentq").root

MTPV 求根

搜索变量为磁链角 \(\delta\)，搜索区间同样为 \([\pi/2, \pi]\)（IPMSM 的 MTPV 轨迹位于第二象限，\(i_d \lt 0, i_q \gt 0\)）：

def mtpv_cond(delta):
    psi_s_dq = psi_s_abs * np.exp(1j * delta)
    i_s_dq = par.iterate_i_s_dq(psi_s_dq)
    i_a_dq = par.aux_current(i_s_dq)
    return np.real(i_a_dq * np.conj(psi_s_dq))

delta_opt = root_scalar(mtpv_cond, bracket=[np.pi/2, np.pi], method="brentq").root

算法要点

LUT 插值器

求根完成后，源码构造可调用插值器供在线查表：

# MTPA: 由转矩查电流
MTPALocus(i_s_dq_vs_tau_M=lambda x: np.interp(x, tau_M, i_s_dq))

# MTPV: 由磁链幅值查电流/转矩
MTPVLocus(
    tau_M_vs_psi_s_abs=lambda x: np.interp(x, abs(psi_s_dq), tau_M),
    i_s_dq_vs_psi_s_abs=lambda x: np.interp(x, abs(psi_s_dq), i_s_dq),
)

7.2 符号对照表

7.3 函数对照表

8. 关键代码索引